Teoremas de Mohr

Primer Teorema de Mohr

El ángulo $\theta_{AB}$ entre las tangentes a la curva elástica en dos puntos A y B de la misma, viene dado por el área del diagrama de momentos flectores comprendida entre ambos puntos, dividida por .

$\displaystyle \theta_{AB}=\frac{1}{EI_y}\int_A^B M_y\left(x\right)$ d $\displaystyle x$

(13.13)

**Figura 13.4:** Primer teorema de Mohr

La demostración es sencilla. De acuerdo con la ley de Hooke, la tensión en cualquier punto de la sección transversal de la barra es

$\displaystyle \sigma_x\left(x\right)=E\hspace{0.5mm}\varepsilon_x$

(13.14)

siendo $\varepsilon_x$ la deformación unitaria del punto considerado.

La hipótesis de Navier-Bernoulli puede expresarse como

$\displaystyle \varepsilon_x=\frac{z \text{d}\theta}{\text{d}s}$

(13.15)

Sustituyendo (13.15) en (13.14), se obtiene

$\displaystyle \sigma_x\left(x\right)=Ez\frac{\text{d}\theta}{\text{d}s}$

(13.16)

Teniendo en cuenta que el flector actuante sobre la sección es estáticamente equivalente a la distribución de tensiones sobre la sección, se obtiene

$\displaystyle M_y\left(x\right)=\int_S \sigma_x \hspace{0.5mm} b \hspace{0.5mm} z$ d $\displaystyle z= E\frac{\text{d}\theta}{\text{d}s}\int_S b \hspace{0.5mm} z^2 \hspace{0.5mm} \text{d}z= E I_y\frac{\text{d}\theta}{\text{d}s}$

(13.17)

siendo b el ancho de la sección transversal en el punto considerado e el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje y. Despejando d $\theta$ de (13.17) se obtiene el ángulo diferencial entre dos secciones separadas ds.

d $\displaystyle \theta= \frac{M_y\left(x\right)}{EI_y}$ d $\displaystyle s$

(13.18)

Al ser los desplazamientos pequeños, se puede sustituir el arco ds por la distancia horizonal dx; integrando entre los puntos A y B se obtiene

$\displaystyle \theta_{AB}= \int_A^B \frac{M_y\left(x\right)}{EI_y}$ d $\displaystyle x$

(13.19)

donde la integral representa el área del diagrama de momentos flectores comprendida entre ambos puntos, dividida por .

Segundo teorema de Mohr

La distancia mínima desde un punto A de la curva elástica hasta la tangente a otro punto B de la curva elástica, es igual al momento estático del área del diagrama de momentos flectores respecto del punto A, dividido por

$\displaystyle w_{AB}=\frac{1}{EI_y}\int_A^B x M_y\left(x\right)$ d $\displaystyle x$

(13.20)

**Figura 13.5:** Segundo teorema de Mohr

Para demostrar este teorema, se comprueba que la distancia mínima dw desde el punto A de la curva elástica a la tangente a la elástica en el punto de abscisa d, que se muestra en la Figura 13.5, es

d $\displaystyle w=x$ d $\displaystyle \theta$

(13.21)

Aplicando el primer teorema de Mohr e integrando (13.21) entre los puntos A y B se obtiene la distancia mínima desde el punto A de la curva elástica a la tangente a la elástica en el punto B. Por la hipótesis de pequeños desplazamientos se aproxima dicha distancia a la medida entre el punto A de la curva elástica y la intersección de la vertical trazada por A con la tangente en B.

En aquellos casos en que la ley de momentos flectores sea sencilla, las áreas y momentos estáticos de la misma pueden ser calculados fácilmente sin necesidad de realizar las integrales. Los sentidos de los desplazamientos y giros se pueden obtener a partir de las dos reglas siguientes:

Teniendo en cuenta el criterio de signos adoptado para los momentos en una sección de la pieza y asociando estos mismos signos a las áreas de los diagramas de momentos flectores, un área total positiva corresponde a un giro antihorario de la tangente a la elástica en el punto B respecto a la tangente a la elástica en el punto A.
Tomando como positivas las distancias que van en el sentido positivo de las abscisas x, un momento estático total positivo supone que el punto A de la elástica está por encima de la tangente a la curva elástica en el punto B.