Torsión uniforme en barras prismáticas de sección circular. Teoría elemental de la torsión

Las barras prismáticas de sección circular son el elemento estructural más común sometido a torsión. Se puede demostrar que debido a la simetría de la sección transversal, las secciones transversales planas normales al eje de la barra permanecen planas durante la deformación y no sufren distorsión en su propio plano. Esto se aprecia en la Figura 11.1. Se ha trazado una rejilla sobre la barra sin deformar, como se muestra en la Figura 11.1 a). Al deformarse, las secciones transversales circulares permanecen siendo circulares y las líneas longitudinales forman hélices que intersecan a los círculos según ángulos iguales.

Figura 11.1: Deformación de una barra prismática de sección circular sometida a torsión uniforme
Image 1-torsion

Sea una rebanada diferencial de la barra, de longitud dx, como se muestra en la Figura 11.2. Se considerará un elemento en la superficie de ésta, definido por sus vértices a, b, c y d. Los lados ab y cd son inicialmente paralelos al eje longitudinal. Durante la torsión de la barra, las secciones transversales extremas giran una respecto a la otra un ángulo d$ \phi$ , de manera que, considerando como referencia la sección extrema de la izquierda, los puntos b y c pasan a la posición b' y c'. Se considera que las longitudes de los lados del elemento, ahora ab' y dc', no han cambiado. Sin embargo, si se ha producido una deformación angular, de valor

$\displaystyle \gamma_{\text{m\'{a}x}}=\displaystyle\frac{bb'}{ab}$ (11.1)

$ \gamma_{\text{m\'{a}x}}$ viene expresada en radianes. La distancia ab es la longitud de la rebanada diferencial, dx.

Figura 11.2: Rebanada diferencial sometida a torsión pura
Image 2-torsion

Por otro lado, si r es el radio de la sección transversal, bb' puede expresarse como $ r$   d$ \phi$, y la ecuación (11.1) como

$\displaystyle \gamma_{\text{m\'{a}x}}=\displaystyle\frac{r\hspace{0.1mm}\text{d}\phi}{d\emph{x}}$ (11.2)

En la ecuación 11.2 $ \displaystyle\frac{\text{d}\phi}{d\emph{x}}$ es la razón de cambio del ángulo de torsión con respecto a la distancia x medida a lo largo del eje de la barra. Dicha razón se denota con la letra $ \theta$ y se denomina ángulo de torsión por unidad de longitud,

$\displaystyle \theta=\displaystyle\frac{\text{d}\phi}{d\emph{x}}$ (11.3)

Sustituyendo en la ecuación (11.2) la (11.3), aquella toma la forma

$\displaystyle \gamma_{\text{m\'{a}x}}=r\hspace{0.1mm}\theta$ (11.4)

Como los radios en las secciones transversales permanecen rectos y sin deformar durante la torsión, el análisis realizado anteriormente es válido para cualquier elemento sobre la superficie de un cilindro interior de radio r. Por tanto, la deformación angular tiene la expresión

$\displaystyle \gamma=\rho \hspace{0.1mm} \theta = \displaystyle\frac{\rho}{r}\gamma_{\text{m\'{a}x}}$ (11.5)

La ecuación (11.5) implica que las deformaciones angulares en una barra circular varían linealmente con la distancia radial $ \rho$ desde el centro. Es nula en el centro y máxima en la superficie exterior. Esta variación lineal implica que $ \displaystyle\frac{\text{d}\phi}{d\emph{x}}$ es constante.

Conocida la deformación, el estado tensional se puede determinar a partir de la relación tensión-deformación para el material de la barra. Si el material es elástico y lineal, la ley de Hooke establece como relación entre la tensión y la deformación tangenciales

$\displaystyle \tau= G \gamma$ (11.6)

Sustituyendo (11.2) en (11.6), la tensión tangencial máxima es

$\displaystyle \tau_{\text{m\'{a}x}}= G r \displaystyle\frac{\text{d}\phi}{d\emph{x}}$ (11.7)

que al igual que las deformaciones, tiene una distribución lineal y es nula en el centro y máximo en la superficie, como se muestra en la Figura 11.3.

Figura 11.3: Distribución de tensiones en una sección circular de una barra prismática sometida a torsión uniforme
Image 3-torsion

El momento torsor resultante de la actuación de la tensión tangencial es

$\displaystyle M_x\left(x\right)=\int_S r \hspace{1mm} \tau$   d$\displaystyle S=G\displaystyle\frac{\text{d}\phi}{d\emph{x}}\int_S r^2 \text{d}S= G \displaystyle\frac{\text{d}\phi}{d\emph{x}} I_p$ (11.8)

El ángulo de torsión, a partir de la ecuación anterior, es

$\displaystyle \phi=\int\displaystyle\frac{M_x\left(x\right)}{GI_p}$d$\displaystyle x$ (11.9)

siendo S el área e $ I_p$ el momento de inercia polar, de la sección transversal.

Por equilibrio, $ M_x\left(x\right)$ es igual en magnitud al momento torsor $ M_t$ aplicado en el extremo de la sección. Expresando las ecuaciones (11.7), (11.8) y (11.9) en función de la solicitación actuante $ \left(M_t\right)$, las constantes del material y la geometría de la barra, e integrando (11.9) a lo largo de la barra, se obtienen las ecuaciones fundamentales de la teoría elemental de la torsión


$\displaystyle \tau_{\text{m\'{a}x}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle\frac{M_t r}{I_p}$ (11.10)
$\displaystyle \theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle\frac{M_t}{G I_p}$ (11.11)
$\displaystyle \phi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle\frac{M_t L}{GI_p}$ (11.12)