Deformaciones elásticas y desplazamientos debidas a un axil centrado

Para el estudio de las deformaciones en una barra prismática cargada axialmente se hará uso de la ley de Hooke generalizada.

Si la sección está sometida exclusivamente a un esfuerzo axil en dirección del eje x, se verifica que $\sigma_y=\sigma_z=\tau_{xy}=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0$ . Las ecuaciones de la ley de Hooke

$\displaystyle \varepsilon_x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \displaystyle\frac{\sigma_x}{E}-\displaystyle\frac{\nu}{E}\left(\... ...splaystyle\frac{1}{E} \left[\sigma_x-\nu\left(\sigma_y+\sigma_z\right)\right]$
$\displaystyle \varepsilon_y$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \displaystyle\frac{\sigma_y}{E}-\displaystyle\frac{\nu}{E}\left(\... ...splaystyle\frac{1}{E} \left[\sigma_y-\nu\left(\sigma_x+\sigma_z\right)\right]$
$\displaystyle \varepsilon_z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \displaystyle\frac{\sigma_z}{E}-\displaystyle\frac{\nu}{E}\left(\... ...splaystyle\frac{1}{E} \left[\sigma_z-\nu\left(\sigma_x+\sigma_y\right)\right]$
$\displaystyle \gamma_{xy}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \displaystyle\frac{\tau_{xy}}{G}$
$\displaystyle \gamma_{xz}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \displaystyle\frac{\tau_{xz}}{G}$
$\displaystyle \gamma_{yz}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \displaystyle\frac{\tau_{yz}}{G}$

$\displaystyle \varepsilon_x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \displaystyle\frac{\sigma_x}{E}$	(7.3)
$\displaystyle \varepsilon_y$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \varepsilon_z=-\displaystyle\frac{\nu}{E}\sigma_x$	(7.4)

Es decir, además de la deformación longitudinal unitaria en la dirección de aplicación de la carga (7.3), se producen deformaciones transversales (7.4). Teniendo en cuenta que la distribución de tensiones normales en una sección sometida exclusivamente a esfuerzo axil es

$\displaystyle \sigma_x=\displaystyle\frac{N}{S}$

(7.5)

sustituyendo (7.5) en (7.3), el alargamiento unitario en la dirección de aplicación de la carga es

$\displaystyle \varepsilon_x=\displaystyle\frac{N}{ES}$

(7.6)

El alargamiento unitario expresado como una variación del alargamiento longitudinal es

$\displaystyle \varepsilon_x=\displaystyle\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$

(7.7)

$\displaystyle \displaystyle\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\displaystyle\frac{N}{ES}$

(7.8)

el desplazamiento u de una sección de abscisa x, según se muestra en la Figura 7.4, se obtiene a partir de la integración de (7.8)

$\displaystyle u=\int_0^x \displaystyle\frac{N}{ES}$ d $\displaystyle x$

(7.9)

$\displaystyle \Delta L=\int_0^L \displaystyle\frac{N}{ES}$ d $\displaystyle x=\displaystyle\frac{NL}{ES}$

(7.10)

La expresión (7.10) es válida en el caso de área y carga constantes. Si la barra está sometida a varias fuerzas axiles diferentes, o si la sección transversal o el módulo de elasticidad cambian a lo largo de la barra, la ecuación (7.10) se aplica a cada uno de los n tramos de la barra donde las magnitudes señaladas anteriormente sean constantes. El incremento de longitud de la barra se obtiene mediante la suma del desplazamiento de cada tramo.