Núcleo central

Existen materiales que trabajan muy bien a compresión y tienen un mal comportamiento a tracción, lo que los hace ideales para su uso en elementos estructurales que trabajen fundamentalmente a compresión. No obstante, las cargas axiles siempre actúan con cierta excentricidad. Por tanto, interesa delimitar la zona de la sección transversal en la que la acción de un axil de compresión no provoca tracciones. Esta zona se denomina núcleo central.

Ya se ha comentado anteriormente que el eje neutro en flexión compuesta o flexión compuesta desviada no pasa por el centro de gravedad de la sección. Esto implica que la sección y el eje neutro pueden intersecarse o no. Si la sección y el eje neutro se cortan, éste dividirá a la sección en dos partes: una trabajará a tracción y otra a compresión. Si la sección y el eje neutro no se intersecan, toda la sección trabajará a tracción o a compresión según el sentido del axil. Teniendo en cuenta ésto, se puede definir el núcleo central de una sección como el lugar geométrico de los puntos en los que la aplicación de un axil de compresión implica líneas neutras tangentes al contorno de la sección sin intersecarla.

Las líneas $ L_1$ y $ L_2$ de la sección de la Figura 10.3 se corresponden con los ejes neutros al aplicar un axil en los puntos 1 y 2, respectivamente. La línea $ L_3$ corresponde al eje neutro para un axil aplicado en el punto 3; en los tres casos, toda la sección estaría comprimida o traccionada dependiendo del sentido del axil. La línea $ L_4$ corresponde al eje neutro para un axil aplicado en el punto 4; en este caso se producen tracciones y compresiones en la sección.

Figura 10.3: Concepto de núcleo central
Image 3-FCompuesta

En una sección sometida a flexión compuesta desviada, como se muestra en la Figura 10.4, los momentos pueden expresarse en función del esfuerzo axil y sus excentricidades como

\begin{displaymath}\begin{array}{c} M_z\left(x\right)=N\left(x\right) \hspace{0... ...ft(x\right)=N\left(x\right) \hspace{0.1mm} e_z \\ \end{array}\end{displaymath} (10.7)

Sustituyendo (10.7) en (10.5) y reordenando, se obtiene

$\displaystyle \sigma_x\left(x,y,z\right)=N\left(x\right)\left(\displaystyle\fra... ...z-I^2_{yz}} y + \displaystyle\frac{e_zI_z -e_yI_{yz}}{I_yI_z-I^2_{yz}} z\right)$ (10.8)

siendo la ecuación del eje neutro

$\displaystyle \displaystyle\frac{1}{S}+\displaystyle\frac{e_yI_{y}- e_zI_{yz}}{I_yI_z-I^2_{yz}} y + \displaystyle\frac{e_zI_z -e_yI_{yz}}{I_yI_z-I^2_{yz}} z=0$ (10.9)

Figura 10.4: Axil actuando excéntricamente sobre una sección
Image 4-FCompuesta

El proceso para la determinación del contorno del núcleo central consiste en tomar como eje neutro las tangentes al contorno de la sección (de ecuación $ ay+bz+1 = 0$) e identificar coeficientes con la ecuación (10.9). Se puede comprobar que las coordenadas $ \left(e_y \text{ , } e_z\right)$ de un axil de compresión al que corresponde un determinado eje neutro, son

\begin{displaymath}\begin{array}{c} e_y=\displaystyle\frac{1}{S}\left(a \hspace... ... \hspace{1mm} I_{yz}+b \hspace{1mm} I_y\right) \\ \end{array}\end{displaymath} (10.10)

Si los ejes y y z son principales de inercia, las ecuaciones (10.10) se simplifican

\begin{displaymath}\begin{array}{c} e_y=\displaystyle\frac{a \hspace{1mm} I_z}{... ...ac{b \hspace{1mm} I_y}{S}=b \hspace{1mm} i^2_y \\ \end{array}\end{displaymath} (10.11)

siendo $ i_y$ e $ i_z$ los radios de giro de la sección respecto a los eje y y z, respectivamente:

\begin{displaymath}\begin{array}{cc} i_y=\sqrt{\displaystyle\frac{I_y}{S}} & i_z=\sqrt{\displaystyle\frac{I_z}{S}} \end{array}\end{displaymath} (10.12)

Para definir el contorno del núcleo central, es necesario estudiar las tangentes a la sección en un número suficiente de puntos. Si la sección esta formada por tramos rectilíneos, la obtención del contorno se puede simplificar. Para ello se hará uso de la siguiente propiedad: si la línea neutra correspondiente a un axil aplicado con excentricidad $ e^A_y$ y $ e^A_z$ pasa por el punto de coordenadas $ \left(e^B_y, e^B_z\right)$, se cumple que la línea neutra correspondiente al axil aplicado en $ e^B_y$ y $ e^B_z$ pasa por el punto de coordenadas $ \left(e^A_y, z=e^A_z\right)$.

En la Figura 10.5, $ L_1$, $ L_2$, $ L_3$, $ L_4$ y $ L_5$ son los ejes neutros correspondientes a la aplicación de un axil en los puntos 1, 2, 3, 4 y 5, respectivamente. Haciendo uso de la propiedad mencionada en el párrafo anterior, se puede afirmar que en la sección de la Figura 10.5, el segmento $ \overline{12}$ contiene los puntos del núcleo central correspondientes a los ejes neutros que giran alrededor de O. Esto es, como $ L_1$ pasa por O, el eje neutro de O pasará por 1 y como $ L_2$ pasa por O, el eje neutro de O pasará por 2. Por tanto, el segmento $ \overline{12}$ es parte de la línea neutra correspondiente al axil aplicado en O. De acuerdo con la propiedad citada anteriormente, mientras el axil recorra el segmento $ \overline{12}$ las líneas neutras girarán alrededor de O desde $ L_1$ hasta $ L_2$. Por este motivo, en las secciones con el contorno definido por tramos rectilíneos, el contorno del núcleo puede ser calculado uniendo mediante rectas los puntos de aplicación del axil de compresión a los que corresponden los ejes neutros que son tangentes al contorno de la sección sin intersecarla.

Figura 10.5: Determinación del núcleo central
Image 5-FCompuesta