Líneas isostáticas

Las líneas isostáticas son las envolventes de las tensiones principales. Hay dos familias de estas curvas, cada una de las cuales corresponde a una de las tensiones principales. Por cada punto pasan dos isostáticas, una de cada familia, que son ortogonales entre sí.

Las ecuaciones de las isostáticas se obtienen a partir de la ecuación

$\displaystyle \tan 2\theta=\displaystyle\frac{\tau_{xy}}{\displaystyle\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}}=\displaystyle\frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2\theta}$ (3.53)

siendo $ \theta$ el ángulo que forma la dirección principal 1 con la dirección positiva del eje x. Por tanto, se verifica

$\displaystyle \tan \theta = \displaystyle\frac{\text{d}y}{\text{d} x}$ (3.54)

Sustituyendo (3.54) en (3.53), se obtiene

$\displaystyle \left(\displaystyle\frac{\text{d}y}{\text{d} x}\right)^2+\display... ...frac{\sigma_x-\sigma_y}{\tau_{xy}}\displaystyle\frac{\text{d}y}{\text{d} x}-1=0$ (3.55)

que es una ecuación de segundo grado en $ \displaystyle\frac{\text{d}y}{\text{d} x}$, cuyas raíces son

$\displaystyle \displaystyle\frac{\text{d}y}{\text{d} x}=-\displaystyle\frac{\si... ...}}\pm \sqrt{\left(\displaystyle\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2\tau_{xy}}\right)^2+1}$ (3.56)

Las isostáticas son de gran utilidad en el diseño de elementos de hormigón armado, ya que las armaduras de acero que cosen las fisuras que las tracciones originan en el hormigón deberían colocarse coincidentes con la familia de isostáticas correspondientes a la tensión principal 1.