Criterio de plasticidad de Von Mises

En 1913, Von Mises propuso como criterio de plastificación que ésta se alcanza cuando las componentes de la tensión, en un punto del sólido, satisfacen la relación

$\displaystyle \frac{1}{6}\left[\left(\sigma_1-\sigma_2\right)^2+\left(\sigma_2-\sigma_3\right)^2+\left(\sigma_3-\sigma_1\right)^2\right] = k^2$

(5.4)

o bien,

$\displaystyle \frac{1}{6}\left[\left(\sigma_x-\sigma_y\right)^2+\left(\sigma_y-... ...igma_x\right)^2 + 6\left(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{xz}^2\right)\right]=k^2$

(5.5)

siendo una constante a determinar mediante el ensayo de tracción del material. Así, si el límite elástico obtenido en el ensayo de tracción es $\sigma _e$ , verificándose que $\sigma_1=\sigma_e$ y $\sigma_2=\sigma_3=0$ , es, sustituyendo en 5.4

$\displaystyle k^2=\displaystyle\frac{\sigma_e^2}{3}$

(5.6)

Sustituyendo en las expresiones de Von Mises en ejes principales, queda

$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}\left[\left(\sigma_1-\sigma_2\right)^2+\left(\sigma_2-\sigma_3\right)^2+\left(\sigma_3-\sigma_1\right)^2\right]}=\sigma_e$

(5.7)

y en ejes no principales,

$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}\left[\left(\sigma_x-\sigma_y\right)^2+\left(\si... ...x\right)^2+ 6\left(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{xz}^2\right)\right]}=\sigma_e$

(5.8)

Es decir, las raíces de las expresiones anteriores constituyen la tensión equivalente de Von Mises

$\displaystyle \sigma_{\text{\tiny {VM}}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left[\left(\sigma_1-... ...ht)^2+\left(\sigma_2-\sigma_3\right)^2+\left(\sigma_3-\sigma_1\right)^2\right]}$

(5.9)

o bien,

$\displaystyle \sigma_{\text{\tiny {VM}}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left[\left(\sigma_x-... ...z-\sigma_x\right)^2+ 6\left(\tau_{xy}^2+\tau_{yz}^2+\tau_{xz}^2\right)\right]}$

(5.10)

En el caso de tensión plana, el criterio de Von Mises se simplifica. En el sistema de ejes principales, la tensión equivalente de Von Mises es

$\displaystyle \sigma_{\text{\tiny {VM}}}=\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2-\sigma_1\sigma_2}$

(5.11)

y en el sistema de ejes no principales

$\displaystyle \sigma_{\text{\tiny {VM}}}=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_x\sigma_y+3\tau_{xy}^2}$

(5.12)

Si $\sigma_{\text{\tiny {VM}}}=\sigma_e$ , el estado tensional correspondiente se encuentra sobre la superficie de plastificación. Si $\sigma_{\text{\tiny {VM}}}<\sigma_e$ , el estado tensional correspondiente es elástico.

El criterio de Von Mises representado en el espacio de las tensiones principales, es una superficie cilíndrica de longitud infinita y de sección transversal circular, tal como se muestra en la Figura 5.2. Por tanto, este criterio cumple que la superficie de plastificación es convexa.

**Figura 5.2:** Criterio de Von Mises: superficie de plastificación

El criterio de Von Mises se suele adoptar cuando se utilizan materiales metálicos.