Ejercicios propuestos - Tema 4: Leyes de comportamiento

Ejercicio 1

El campo de desplazamientos de los puntos de un sólido elástico viene definido por las funciones:

$\displaystyle u = x^2 \cdot 10^{-4}$   ,$\displaystyle \hspace{2mm} v = (y^2 + 2x) \cdot 10^{-4}$   ,$\displaystyle \hspace{2mm} w = z^2 \cdot 10^{-4}$    

Determinar, para el punto $ P(1,0,2)$:

  1. El tensor de pequeñas deformaciones
  2. El tensor de tensiones

Datos:

$\displaystyle E = 210$    GPa    ,$\displaystyle \hspace{2mm} \nu = 0,3$    

Solución:

  1. El tensor de pequeñas deformaciones

    $\displaystyle \boldsymbol{\varepsilon}$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right)\cdot 10^{-4}$      

  2. El tensor de tensiones

    $\displaystyle \boldsymbol{\sigma}$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{ccc} 105 & 16,154 & 0 \\ 16,154 & 72,692 & 0 \\ 0 & 0 & 137,308 \end{array} \right) ($ MPa$\displaystyle )$      

Ejercicio 2

El sólido elástico de la Figura 4.7, se encuentra sometido a un estado de tensiones uniforme de componentes $ \sigma_x$, $ \sigma_y$ y $ \sigma_z$.

Figura 4.7: Solido elástico sometido a un estado de tensiones uniforme
Image 01-leyes-ejercicios

Determinar:

  1. Lo que medirían sendas galgas colocadas en las direcciones $ OE$ y $ GE$
  2. La variación de volumen del sólido

Datos:


$\displaystyle \sigma_x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -3$    MPa   ,$\displaystyle \hspace{2mm} \sigma_y = 2$    MPa   ,$\displaystyle \hspace{2mm} \sigma_z = 2$   MPa  
$\displaystyle E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 210$    GPa    ,$\displaystyle \hspace{2mm} \nu = 0,35$  


Solución:

  1. Lo que medirían sendas galgas colocadas en las direcciones $ OE$ y $ GE$

    $\displaystyle \varepsilon_{OE}$ $\displaystyle = 5,338\cdot 10^{-6}$      
    $\displaystyle \varepsilon_{GE}$ $\displaystyle = -2,24\cdot 10^{-7}$      

  2. La variación de volumen del sólido

    $\displaystyle \Delta V$ $\displaystyle = 0,000108$    m$\displaystyle ^3$      

Ejercicio 3

En una placa en la que se desconocen sus propiedades mecánicas, se han colocado dos galgas extensométricas, como se muestra en la Figura 4.8. Aplicando a la placa unas tensiones normales uniformes de tracción $ \sigma_x$ y $ \sigma_y$, se miden unas deformaciones $ \varepsilon_x$ y $ \varepsilon_y$.

Figura 4.8: Galgas extensométricas colocadas en una placa sometida a tracción
Image 02-leyes-ejercicios

Se pide:

  1. Determinar el coeficiente de Poisson $ \nu$, y el módulo de elasticidad longitudinal $ E$ del material.
  2. Si las galgas hubieran sido dispuestas en roseta como se muestra en la figura de la derecha, ¿Qué lecturas de $ \varepsilon_a, \varepsilon_b$ y $ \varepsilon_c$ habríamos tenido?.

Datos:


$\displaystyle \sigma_x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 30$    MPa   ,$\displaystyle \hspace{2mm} \sigma_y = 15$    MPa  
$\displaystyle \varepsilon_x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 550\cdot10^{-6}$   ,$\displaystyle \hspace{2mm} \varepsilon_y = 100\cdot10^{-6}$  

Solución:

  1. Determinar el coeficiente de Poisson $ \nu$, y el módulo de elasticidad longitudinal $ E$ del material.

    $\displaystyle E$ $\displaystyle = 45000$    MPa       
    $\displaystyle \nu$ $\displaystyle = 0,35$      

  2. Si las galgas hubieran sido dispuestas en roseta como se muestra en la figura de la derecha, ¿Qué lecturas de $ \varepsilon_a, \varepsilon_b$ y $ \varepsilon_c$ habríamos tenido?.

    $\displaystyle \varepsilon_a$ $\displaystyle = 550\cdot10^{-6}$      
    $\displaystyle \varepsilon_b$ $\displaystyle = 212,5\cdot10^{-6}$      
    $\displaystyle \varepsilon_c$ $\displaystyle = 212,5\cdot10^{-6}$