Ley de Hooke generalizada para materiales homogéneos e isótropos

Sea una barra de sección transversal rectangular sometida en sus caras a fuerzas longitudinales de tracción de valor $ F$ que se suponen repartidas uniformemente en la sección. Se consideran los ejes de referencia como principales, tal como se muestra en la Figura 4.5.

Figura 4.5: Prisma sometido a tracción triaxial según ejes principales
Image 05-Leyes

Considerando exclusivamente la fuerza en la dirección 1, el estado tensional en el sólido es


$\displaystyle \sigma_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle\frac{F}{S_1}$  
$\displaystyle \sigma_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma_3 = 0$ (4.14)
$\displaystyle \tau_{12}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tau_{13} = \tau_{23} = 0$  

siendo $ S_1$ el área de la sección normal al eje 1. Para este estado tensional, las deformaciones, Figura 4.6 a), que se producen en el sólido son


$\displaystyle \varepsilon_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle\frac{A'D'-AD}{AD}$ (4.15)
$\displaystyle \varepsilon_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle\frac{B'C'-BC}{BC}$ (4.16)
$\displaystyle \varepsilon_3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle\frac{A'B'-AB}{AB}$ (4.17)

Figura 4.6: Prisma sometido a tracción triaxial según ejes principales
Image 06-Leyes

Los subíndices 1, 2 y 3 indican las deformaciones en las direcciones principales. La ecuación (4.15) proporciona el alargamiento unitario en dirección principal 1, mientras que las expresiones (4.16) y (4.17) proporcionan la contracción transversal unitaria según las direcciones principales 2 y 3, respectivamente.

Teniendo en cuenta el tipo de solicitación, la simetría de la pieza y las hipótesis de isotropía y homogeneidad del material, se puede afirmar que no existe deformación tangencial o deslizamiento, es decir

$\displaystyle \gamma_{12}=\gamma_{13}=\gamma_{23}=0 \hspace{5mm} \Rightarrow \hspace{5mm} \tau_{12}=\tau_{13}=\tau_{23}=0$ (4.18)

Al considerar un comportamiento elástico del material es posible aplicar la ley de Hooke:

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccc} \varepsilon_1 &=& \displaystyle\frac{\s... ...epsilon_1 &=& -\nu \displaystyle\frac{\sigma_1}{E} \end{array}\end{displaymath} (4.19)

Si se consideran los efectos de las fuerzas en las direcciones 2 y 3, Figura 4.6 b) y Figura 4.6 c), se llega a expresiones similares a las anteriores, tal y como se muestra en la Tabla 4.1.


Tabla 4.1: Componentes de la deformación según la fuerza aplicada
Eje Deformaciones producidas por
  $ F$ (en dirección 1) $ F$ (en dirección 2) $ F$ (en dirección 3)
1 $ \displaystyle\frac{\sigma_1}{E}$ $ -\nu \displaystyle\frac{\sigma_2}{E}$ $ -\nu \displaystyle\frac{\sigma_3}{E}$

2 $ -\nu \displaystyle\frac{\sigma_1}{E}$ $ \displaystyle\frac{\sigma_2}{E}$ $ -\nu \displaystyle\frac{\sigma_3}{E}$

3 $ -\nu \displaystyle\frac{\sigma_1}{E}$ $ -\nu \displaystyle\frac{\sigma_2}{E}$ $ \displaystyle\frac{\sigma_3}{E}$
       

Al ser lineales las ecuaciones, se pueden superponer los efectos para determinar las deformaciones unitarias totales:

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccc} \varepsilon_1 &=& \displaystyle\frac{\s... ...[\sigma_3-\nu\left(\sigma_1+\sigma_2\right)\right] \end{array}\end{displaymath} (4.20)

Estas ecuaciones constituyen la ley de Hooke generalizada en las direcciones principales.

En un sistema de referencia no principal, la ley de Hooke toma la siguiente forma:

\begin{displaymath}\begin{array}{ccccc} \varepsilon_x &=& \displaystyle\frac{\s... ..._{yz} &=& \displaystyle\frac{\tau_{yz}}{G} & & \\ \end{array}\end{displaymath} (4.21)

Las expresiones anteriores constituyen la Ley de Hooke generalizada para materiales homogéneos e isótropos en ejes cualesquiera, y coinciden con las expresadas en la ecuación (4.13).