Sistemas hiperestáticos sometidos a torsión uniforme

La forma de abordar este tipo de problemas hiperestáticos es planteando las ecuaciones de equilibrio y tantas ecuaciones de compatibilidad de desplamientos11.1 como grado de hiperestaticidad de la estructura.

La barra de la Figura 11.10 a) de un material de módulo de elasticidad transversal G, está constituida por dos tramos de igual longitud con secciones transversales circulares de diámetros diferentes. Está empotrada en ambos extremos. En el centro de gravedad de la sección común a ambos tramos actúa un momento torsor $ M_t$.

Figura 11.10: a) Barra prismática hiperestática sometida a torsión. b) Reacciones
Image 10-torsion

En los empotramientos A y B, al estar la barra trabajando únicamente a torsión, Figura 11.10 b), sólo habrá momentos torsores como reacciones. La única ecuación de la estática que puede plantearse es

$\displaystyle \sum M_x=0 , \hspace{0.25cm} M_{Ax}+M_t+M_{Bx}=0$ (11.25)

Se tienen dos incógnitas $ \left(M_{Ax} \text{ y } M_{Bx}\right)$ y una ecuación (11.25); por tanto, el grado de hiperestaticidad es uno. Es necesaria una ecuación adicional. Ésta puede ser la ecuación de compatibilidad de giros (es nulo el giro relativo de las secciones empotradas),

$\displaystyle \phi_B=\phi_A+ \phi_{AC}+\phi_{CB}=0$ (11.26)

Para resolver el sistema formado por (11.25) y (11.26) es necesario expresar esta última en función de las incógnitas hiperestáticas. La ecuación

$\displaystyle \phi=\displaystyle\frac{M_xL}{GI_p}$ (11.27)

expresa el ángulo de torsión en una sección de una barra sometida a torsión en función del momento torsor $ (M_x$), el momento de inercia polar ($ I_p$) y el módulo de elasticidad transversal del material (G). En la Figura 11.11 se muestran los sólidos libres de cada uno de los tramos para el cálculo de los esfuerzos de torsión.

Figura 11.11: a) Sólido libre del tramo AC. b) Sólido libre del tramo CB
Image 11-torsion

Los esfuerzos momentos torsores son: