5.4.- Oscilaciones amortiguadas y forzadas

 

OSCILACIONES AMORTIGUADAS:

En todo movimiento oscilante real se disipa energía mecánica debido a algún tipo de rozamiento. Cuando consideramos esta disminución de energía llamamos al oscilador 'amortiguado'. La representación gráfica de la elongación en función del tiempo sería como la de la figura a continuación:

Si añadimos a la fuerza elástica del muelle la fuerza de rozamiento en un fluido , la ecuación diferencial que tenemos es:

La solución general a una ecuación diferencial como la arriba indicada es del tipo:

donde viene dada por:

OSCILADOR FORZADO.

Puesto que las oscilaciones disminuyen gradualmente con el tiempo, para mantener un sistema oscilando es necesario suministrar energía al sistema. Cuando hacemos esto llamamos al oscilador 'forzado', como el que se representa en la figura:

Para estudiar matemáticamente el oscilador forzado suponemos que está sujeto a la ley de Hooke, que además está amortiguado por un rozamiento en un fluido, y que está sujeto a una fuerza externa restauradora que varía armónicamente con el tiempo:

donde es la frecuencia angular de la fuerza, que en principio es distinta de la frecuencia angular natural del oscilador (si coinciden tenemos el fenómeno de la resonancia, en el que la energía absorbida del oscilador es máxima y llamamos a ). La ecuación diferencial del movimiento es en este caso:

 

No vamos a resolver de manera exacta esta ecuación diferencial, pero sí lo haremos cualitativamente. La solución consta de dos partes. Una de ellas es una solución transitoria que desparece con el tiempo y que no tendremos en cuenta, y otra parte es una solución estacionaria que permenece en el tiempo. La solución estacionaria se puede escribir como:

 

Si la frecuencia externa es igual a la natural del sistema entonces la amplitud es muy grande (no entramos en detalles del valor de la amplitud A ni de la fase ).

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Completa la siguiente tabla:

 

 

 

Número de fuerzas
que intervienen y expresión

Ecuación      diferencial       

 

Solución a la ecuación diferencial

Otras características (Opcional)

Oscilador armónico simple

       

Oscilador amortiguado

 

         

Oscilador forzado