Torsión uniforme en barras prismáticas de sección de pared delgada

En las barras prismáticas de sección de pared delgada sometidas a torsión uniforme, cada sección sufre un giro distinto alrededor del centro de torsión y unos desplazamientos de alabeo iguales en todas las secciones.

La sección más elemental es la rectangular estrecha que se muestra en la Figura 11.6.

Figura 11.6: Sección rectangular estrecha sometida a torsión
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La función de Prandtl para el rectángulo estrecho es

$\displaystyle \Phi\left(y\right)=-G \theta \left(y^2-\displaystyle\frac{1}{4}e^2\right)$ (11.15)

y las distribuciones de tensiones son


$\displaystyle \tau_{xy}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\displaystyle\frac{\partial \Phi\left(y\right)}{\partial z}=0$ (11.16)
$\displaystyle \tau_{xz}\left(y\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle\frac{\partial \Phi\left(y\right)}{\partial y}=-2G\theta y$ (11.17)

En la Figura 11.7 se muestra la distribución de tensiones $ \tau_{xz}$ la cual varía linealmente en el espesor. Las tensiones máximas se producen en los puntos más alejados de la línea media del rectángulo (donde $ \tau_{xz}$ es nula).

Figura 11.7: Distribución de tensiones tangenciales en una sección rectangular estrecha sometida a torsión
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Se puede demostrar que la constante torsional J, el ángulo girado por unidad de longitud de barra $ \theta$ y la tensión máxima son


$\displaystyle J$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle\frac{1}{3}be^3$ (11.18)
$\displaystyle \theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \displaystyle\frac{3M_x}{Gbe^3}$ (11.19)
$\displaystyle \tau_{xz_{\text{m\'{a}x}}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tau_{xz}\left(\pm\frac{e}{2}\right)=\displaystyle\frac{\mp3M_x}{be^2}$ (11.20)

Las secciones abiertas se pueden generar mediante secciones rectangulares estrechas, como se muestra en la Figura 11.8.

Figura 11.8: Perfil abierto de pared delgada construido mediante adición de rectángulos estrechos
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La constante torsional de cualquier perfil abierto de pared delgada puede ser calculada directamente aplicando la ecuación (11.18) a cada rectángulo y sumando:

$\displaystyle J=\sum_{i=1}^n\left(\displaystyle\frac{1}{3}be^3\right)$ (11.21)

siendo n es el número de rectángulo que forman la sección, $ b_i$ y $ e_i$ son, respectivamente, la longitud y el espesor del rectángulo genérico i.

Las tensiones tangenciales estáticamente equivalentes al momento torsor en perfiles cerrados de pared delgada se distribuyen de forma distinta a como lo hacen en secciones abiertas. Como el espesor de las paredes es muy pequeño, se puede simplificar el cálculo considerando que $ \tau_{xs}$ es constante en el mismo. En la Figura 11.9 se muestra la distribución de tensiones tangenciales, constante, en un tramo de una sección de un perfil cerrado de pared delgada.

Figura 11.9: Perfil cerrado de pared delgada. Distribución de tensiones tangenciales
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Para secciones cerradas de espesor constante, se obtiene:

$\displaystyle \tau_{xs}= \displaystyle\frac{M_x}{2\Omega e}$ (11.22)

siendo $ \Omega$ el área encerrada por la línea media de la sección. El ángulo girado por unidad de longitud de la barra se obtiene mediante la expresión:

$\displaystyle \theta= \displaystyle\frac{\tau_{xs} S}{2G\Omega}=\displaystyle\frac{M_x S}{4G\Omega^2e}$ (11.23)

siendo S la longitud de la línea media de la sección. La constante torsional vale

$\displaystyle J= \displaystyle\frac{4\Omega^2e}{S}$ (11.24)