Ley general de comportamiento elástico-lineal

Al actuar sobre un sólido una solicitación exterior, las deformaciones que se originan y las tensiones asociadas dependerán de las fuerzas de atracción molecular, es decir, de la estructura cristalina de la materia que constituye el sólido. El caso más general de material es aquél que presenta un comportamiento diferente según la dirección de aplicación de las solicitaciones. Estos materiales se denominan anisótropos. La relación entre tensiones y deformaciones se puede expresar en forma matricial compacta como

$\displaystyle \boldsymbol{\sigma}=$ C $\displaystyle \boldsymbol{\varepsilon}$

(4.1)

$\displaystyle \left( \begin{array}{c} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z \\... ...{z}\\ \gamma_{xy} \\ \gamma_{xz} \\ \gamma_{yz} \\ \end{array} \right)$

(4.2)

estableciéndose la relación, en forma general, a través de 36 constantes elásticas $\left(c_{ij}\right)$ . Pero al ser la matriz C simétrica, el número de constantes se reduce a 21.

Es más habitual utilizar la relación inversa de la expresión (4.2) (teniendo en cuenta la simetría de C)

$\displaystyle \left( \begin{array}{c} \varepsilon_{x}\\ \varepsilon_{y}\\ ... ...\sigma_z \\ \tau_{xy} \\ \tau_{xz} \\ \tau_{yz} \\ \end{array} \right)$

(4.3)

$\displaystyle \varepsilon_x$	$\displaystyle =$	$\displaystyle b_{11} \sigma_x + b_{12} \sigma_y + b_{13} \sigma_z + b_{14} \tau_{xy} + b_{15} \tau_{xz} + b_{16} \tau_{yz}$
$\displaystyle \varepsilon_y$	$\displaystyle =$	$\displaystyle b_{12} \sigma_x + b_{22} \sigma_y + b_{23} \sigma_z + b_{24} \tau_{xy} + b_{25} \tau_{xz} + b_{26} \tau_{yz}$
$\displaystyle \varepsilon_z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle b_{13} \sigma_x + b_{23} \sigma_y + b_{33} \sigma_z + b_{34} \tau_{xy} + b_{35} \tau_{xz} + b_{36} \tau_{yz}$
$\displaystyle \gamma_{xy}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle b_{14} \sigma_x + b_{24} \sigma_y + b_{34} \sigma_z + b_{44} \tau_{xy} + b_{45} \tau_{xz} + b_{46} \tau_{yz}$	(4.4)
$\displaystyle \gamma_{xz}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle b_{15} \sigma_x + b_{25} \sigma_y + b_{35} \sigma_z + b_{45} \tau_{xy} + b_{55} \tau_{xz} + b_{56} \tau_{yz}$
$\displaystyle \gamma_{yz}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle b_{16} \sigma_x + b_{26} \sigma_y + b_{36} \sigma_z + b_{46} \tau_{xy} + b_{56} \tau_{xz} + b_{66} \tau_{yz}$

En la expresión (4.4) se puede observar el acoplamiento entre los efectos normales y tangenciales.

Los materiales ortótropos son aquéllos que presentan propiedades diferentes en direcciones perpendiculares entre sí. Si se toman como ejes de referencia tales direcciones y se expresa (4.4) en dicho sistema, la relación entre deformaciones y tensiones se establece a través de 9 constantes elásticas dadas por la ecuación (4.5).

$\displaystyle \left( \begin{array}{c} \varepsilon_{x}\\ \varepsilon_{y}\\ ... ...\sigma_z \\ \tau_{xy} \\ \tau_{xz} \\ \tau_{yz} \\ \end{array} \right)$

(4.5)

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} \varepsilon_x &=& b_1 \sigma_x + b_2 \sig... ...8 \tau_{xz} \\ \gamma_{yz} &=& b_9 \tau_{yz} \\ \end{array}\end{displaymath}$

(4.6)

Finalmente, los materiales isótropos son aquéllos que presentan las mismas propiedades en cualquier dirección. Quedan caracterizados por 2 constantes elásticas. La expresión (4.2) queda como sigue

$\displaystyle \left( \begin{array}{c} \varepsilon_{x}\\ \varepsilon_{y}\\ ... ...\sigma_z \\ \tau_{xy} \\ \tau_{xz} \\ \tau_{yz} \\ \end{array} \right)$

(4.7)

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} \varepsilon_x &=& b_1 \sigma_x - b_2 \sig... ...3 \tau_{xz} \\ \gamma_{yz} &=& b_3 \tau_{yz} \\ \end{array}\end{displaymath}$

(4.8)

En (4.8) se comprueba que también hay desacoplamiento entre los efectos normales y tangenciales en materiales isótropos.