Deformaciones principales y direcciones principales de deformación

Al ser el tensor de pequeñas deformaciones simétrico, se puede afirmar que existirán en cada punto del sólido elástico tres direcciones perpendiculares entre sí, correspondientes a sendos planos, en los que no hay distorsión o deformación angular. Es decir, en forma matricial, se verifica

$\displaystyle \boldsymbol{\varepsilon}$n$\displaystyle =\varepsilon$   n$\displaystyle =\varepsilon$   In (2.22)

que se puede expresar como

$\displaystyle \left[\boldsymbol{\varepsilon} - \varepsilon \text{\textbf{I}}\right]\hspace{1mm}\text{\textbf{n}}=0$ (2.23)

siendo $ \boldsymbol{\varepsilon}$ el tensor de pequeñas deformaciones, I la matriz identidad y $ \varepsilon$ el módulo de la deformación longitudinal. Por tanto,

$\displaystyle \varepsilon$   I$\displaystyle =\varepsilon \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & ... ...& 0 \\ 0 & \varepsilon & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon \\ \end{array} \right)$ (2.24)

Expresando la ecuación (2.23) en forma paramétrica se tiene

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} \left( \varepsilon_x-\varepsilon\righ... ...arepsilon_{yz}m+\left(\varepsilon_z-\varepsilon\right)n=0 \end{array} \right.$ (2.25)

que es un sistema de tres ecuaciones algebraicas homogéneas lineales. Las componentes del vector unitario $ \overrightarrow{n}$ son las incógnitas, debiendo éstas satisfacer por el carácter unitario del vector normal, la siguiente expresión

$\displaystyle l^2+m^2+n^2=1$ (2.26)

siendo $ (l, m, n)$ los cosenos directores del vector $ \boldsymbol{\varepsilon}$. Dichos cosenos directores no pueden ser todos cero, ya que deben satisfacer la ecuación (2.26). Para que un sistema de ecuaciones homogéneas lineales tenga una solución distinta a la trivial, es condición necesaria y suficiente que el determinante de la matriz de coeficientes sea igual a cero, es decir

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{ccc} \varepsilon_x-\varepsilon & \vare... ...zx} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_z-\varepsilon \end{array} \right\vert=0.$ (2.27)

Al desarrollar este determinante se obtiene una ecuación cúbica, a la que denominamos ecuación característica,

$\displaystyle -\varepsilon^3+I_1\varepsilon^2-I_2\varepsilon+I_3=0$ (2.28)

siendo

$\displaystyle I_1=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z$ (2.29)

$\displaystyle I_2= \left\vert \begin{array}{cc} \varepsilon_y & \varepsilon_{... ...\varepsilon_{xy}\\ \varepsilon_{xy} & \varepsilon_y \end{array} \right\vert$ (2.30)

$\displaystyle I_3=\left\vert\boldsymbol{\varepsilon}\right\vert= \left\vert \... ... \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_z \end{array} \right\vert$ (2.31)

Las raíces $ \varepsilon_i$, siendo $ i= 1,2,3$, de la ecuación característica (los valores propios de $ \boldsymbol{\varepsilon}$) reciben el nombre de deformaciones principales. Las direcciones de estas deformaciones principales, es decir, los vectores propios de $ \boldsymbol{\varepsilon}$, se denominan direcciones principales de deformación. Se convendrá que $ \varepsilon_1$ es la raíz mayor (algebraicamente) y $ \varepsilon_3$ la menor.

En todo punto interior de un sólido elástico existen, si el determinante del tensor de pequeñas deformaciones es distinto de cero, tres direcciones principales ortogonales entre sí, que son las direcciones principales de deformación. Los valores de las deformaciones principales son independientes del sistema de referencia adoptado, y son los valores máximos y mínimos que pueden adoptar las deformaciones en el entorno del punto considerado. Quiere esto decir que las raíces de la ecuación característica son invariantes. Esto implica que los coeficientes $ I_1$, $ I_2$ e $ I_3$ de la ecuación característica también son invariantes.

A $ I_1$ se le denomina invariante lineal, dilatación cúbica o dilatación volumétrica. Se denota por $ e$ y representa el incremento de volumen unitario $ \Delta V$ que sufre un paralelepípedo elemental de lados $ dx, dy, dz$ y de volumen $ dV= dxdydz$.

$\displaystyle e= \displaystyle\frac{\Delta V}{dV}\approx\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3\approx\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z$ (2.32)