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  Matemáticas I , (2ª ed.), abril 2017

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• Presentación

   

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    Roque Molina Legaz   Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Área de Matemática aplicada Titulación en la que se imparte: Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Abril, 2017

  • Descripción general de la asignatura
    Esta asignatura se plantea como una materia básica en la que se pretenden que el alumno adquiera conocimientos correspondientes al álgebra lineal, cálculo de una variable y varias variables, ecuaciones diferenciales y métodos numéricos. Se estudia en primer curso y se imparte en ambos cuatrimestres. En mayor o menor medida, los contenidos estudiados van a estar presentes en todas las asignaturas de la titulación.
    El único prerrequisito es el dominio de las matemáticas cursadas en la enseñanza secundaria y bachillerato.

    NOTA: Los contenidos que aquí se presentan son una actualización de la asignatura Matemáticas I. Grado Tecnologías Industriales, publicada en OCW en 2014 (http://ocw.bib.upct.es/course/view.php?id=154). Se han actualizado los temas teóricos, las relaciones de ejercicios, los exámenes (resueltos) y las prácticas.

    Descripción de la asignatura. Adecuación al perfil profesional
    La asignatura Matemáticas I es una materia que aporta a los alumnos parte de la base matemática que va a necesitar a lo largo de sus estudios, correspondiente al álgebra lineal, cálculo de una y varias variables, ecuaciones diferenciales y métodos numéricos. Además, debemos destacar el carácter formativo de esta asignatura, en lo relativo al uso del razonamiento lógico-deductivo, lo que le permitirá un mejor enfoque de los problemas planteados y un rigor y orden a la hora de su resolución.

    Competencias genéricas/ transversales
    COMPETENCIAS INSTRUMENTALES

    • Capacidad de análisis y síntesis.
    • Capacidad de organización y planificación.
    • Comunicación oral y escrita en lengua propia.
    • Habilidades básicas computacionales.
    • Capacidad de gestión de la información.
    • Resolución de problemas.
    • Toma de decisiones.

    COMPETENCIAS SISTÉMICAS

    • Capacidad para aplicar los conocimientos a la práctica.
    • Capacidad de aprender.
    • Adaptación a nuevas situaciones.
    • Capacidad de generar nuevas ideas (creatividad).
    • Motivación de logro .
    • Habilidad de realizar trabajo autónomo.

    COMPETENCIAS ESPECÍFICAS DEL TÍTULO
    Conocimiento en las materias básicas matemáticas, física, química, organización de empresas, expresión gráfica e informática, que capaciten al alumno para el aprendizaje de nuevos métodos y teorías.

    Objetivos del aprendizaje
    Las competencias específicas y objetivos de aprendizaje que se desarrollarán con la asignatura, y que se indican a continuación, permitirán que el alumno al finalizar el curso sea capaz de:

    - Conocer los elementos básicos de la teoría de conjuntos.
    - Conocer el concepto de aplicación entre conjuntos y sus elementos notables.
    - Clasificar los tipos de aplicaciones entre conjuntos.
    - Conocer diferentes tipos de estructuras algebraicas y sus elementos notables.
    - Manejar las matrices y sus operaciones.
    - Determinar si una matriz es invertible y calcular su inversa.
    - Calcular el rango de una matriz.
    - Calcular el determinante de una matriz cuadrada.
    - Discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales.
    - Definir el concepto de límite de una función real de una variable.
    - Calcular límites de funciones reales de una variable.
    - Definir el concepto de continuidad de una variable.
    - Conocer los teoremas sobre valores extremos de funciones continuas: teorema de Bolzano y teoremas de Weierstras de los valores intermedios y valores extremos, y saber aplicarlos.
    - Definir el concepto de función derivable en un punto y sus propiedades.
    - Calcular derivadas.
    - Aplicar los teoremas sobre representación de funciones reales de una variable.
    - Conocer los teoremas sobre valores medios de funciones derivables: teorema de Rolle, teoremas del valores medios de Cauchy y de Lagrange.
    - Calcular límites utilizando las reglas de Bernoulli-L’Hôpital.
    - Calcular el polinomio de Taylor y acotar el error cometido al aproximar utilizando dicho polinomio.
    - Describir el concepto de integral de Riemann.
    - Conocer el Teorema Fundamental del Cálculo.
    - Aplicar la regla de Barrow.
    - Calcular primitivas estudiadas en Bachillerato.
    - Aplicar el cálculo integral al cálculo de longitudes, áreas y volúmenes.
    - Calcular integrales racionales.
    - Calcular integrales irracionales algebraicas.
    - Calcular integrales de funciones transcendentes.
    - Calcular integrales trigonométricas.
    - Definir el concepto de integral impropia de primera especie.
    - Calcular integrales impropias utilizando primitivas.
    - Utilizar criterios para la convergencia de integrales impropias.
    - Conocer algunos conceptos básicos sobre topología en R^n.
    - Definir el concepto de límite de una función de varias variables.
    - Calcular límites de funciones de dos variables.
    - Definir el concepto de continuidad de una función de varias variables.
    - Calcular derivadas direccionales y derivadas parciales a partir de sus definiciones.
    - Definir el concepto de función diferenciable.
    - Calcular la diferencial de una función de varias variables en un punto y la matriz jacobiana.
    - Interpretar geométricamente las derivadas parciales para funciones reales de dos variables.
    - Calcular extremos relativos y absolutos de funciones reales de varias variables.
    - Aplicar el teorema de la función implícita.
    - Aplicar el teorema de la función inversa.
    - Describir el concepto de la integral de Riemann para funciones reales de dos variables.
    - Calcular integrales dobles.
    - Aplicar cambios de coordenadas para el cálculo de integrales dobles.
    - Calcular integrales triples.
    - Aplicar cambios de coordenadas para el cálculo de integrales triples.
    - Definir los conceptos de ecuación diferencial y problema de condiciones iniciales.
    - Resolver ecuaciones diferenciales de variables separables.
    - Resolver ecuaciones diferenciales homogéneas.
    - Resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
    - Resolver ecuaciones diferenciales de tipo Bernoulli.
    - Resolver ecuaciones diferenciales exactas.
    - Distinguir entre diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
    - Definir ecuación diferencial lineal de orden superior.
    - Entender el teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales lineales.
    - Resolver las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes.
    - Resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden 2.
    - Resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden 2.
    - Aplicar el método de Newton para la aproximación de ceros de ecuaciones.
    - Obtener el polinomio interpolador a partir de algunos puntos de una función y acotar el error cometido al realizar aproximaciones con éste.
    - Aproximar una integral indefinida usando la regla de Simpson y acotar el error cometido.
    - Definir el concepto de espacio vectorial y sus propiedades básicas.
    - Definir el concepto de subespacios vectoriales y caracterizarlos.
    - Determinar si un conjunto de un espacio vectorial es subespacio.
    - Describir las operaciones entre espacios vectoriales.
    - Definir el concepto de combinación lineal de vectores.
    - Definir los conceptos de sistema generador y dependencia e independencia lineal.
    - Definir el concepto de base de un espacio vectorial y calcularlas.
    - Definir el concepto de aplicación lineal, sus elementos notables.
    - Demostrar las propiedades básicas de las aplicaciones lineales.
    - Clasificar las aplicaciones lineales.
    - Determinar la matriz de una aplicación lineal fijadas bases.
    - Definir los conceptos de equivalencia y semejanza entre matrices.
    - Definir los conceptos de valores propios, vectores propios y polinomio característico de una matriz cuadrada y saber calcularlos.
    - Caracterizar una matriz diagonalizable.
    - Calcular una matriz diagonal y matrices de paso asociadas a una matriz diagonalizable.
    - Calcular potencias de una matriz diagonalizable.
    - Definir el concepto de producto escalar en un espacio vectorial real.
    - Definir el concepto de base ortonormal de un espacio vectorial euclídeo y calcular bases ortonormales utilizando el método de Gram-Schmidt.
    - Calcular endomorfismos con significado geométrico: homotecias, proyecciones, simetrías y rotaciones en el plano.
    - Definir el concepto de matriz diagonalizable ortogonalmente.
    - Calcular matrices de paso ortogonales.

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