Diagrama de temas

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  Transformadas Integrales y Ecuaciones en Derivadas Parciales, octubre 2010

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• Programa

   

  • Contiene el programa de la asignatura o curso y la guía de aprendizaje.

  • Tema 1. Definiciones y notaciones básicas
  • 1.1. ¿Qué es una ecuación en derivadas parciales? Tipos de ecuaciones
    1.2. Problemas asociados
    1.3. ¿Qué es una solución? Problemas bien puestos en el sentido de Hadamard
    
    
  • Tema 2. Ecuaciones básicas en Física e Ingeniería
  • 2.1. Transmisión de calor por conducción: la ecuación del calor
    2.2. Vibración transversal de una cuerda: la ecuación de ondas unidimensional
    2.3. Campo eléctrico generado por una distribución de cargas: la ecuación de Poisson
    2.4. Difusión de un contaminante en un medio: la ecuación del transporte
    2.5. Vibración transversal de una viga elástica: la ecuación de Euler-Bernoulli
    
    
  • Tema 3. El problema de Cauchy para ecuaciones de primer orden
  • 3.1. Ecuaciones lineales de primer orden y problemas de Cauchy asociados
    3.2. El método de las características
    3.3. Ecuaciones cuasilineales
    3.4. Existencia de solución y limitaciones del método
    
    
  • Tema 4. Espacios de Hilbert
  • 4.1. Productos escalares y normas asociadas
    4.2. Espacios de Hilbert: el espacio L²
    4.3. Familias de vectores ortogonales: el método de Gram-Schmidt
    4.4. Proyecciones ortogonales
    4.5. La desigualdad de Bessel
    4.6. Bases ortogonales: la identidad de Parseval
    
    
  • Tema 5. Series de Fourier
  • 5.1. Series de Fourier asociadas a bases ortonormales en espacios de Hilbert
    5.2. Funciones periódicas y series de Fourier trigonométricas
    5.3. Convergencia es L²
    5.4. Núcleos de Dirichlet: convergencia puntual y uniforme de series de Fourier
    5.5. El fenómeno de Gibbs
    
    
  • Tema 6. Problemas regulares de Sturm-Liouville
  • 6.1. Ecuaciones de Sturm-Liouville y condiciones de contorno asociadas: sistemas de Sturm-Liouville
    6.2. Sistemas regulares
    6.3. Autovalores y autofunciones: el teorema de descomposición espectral
    
    
  • Tema 7. El método de separación de variables. Aplicaciones
  • 7.1. Descripción del método
    7.2. La ecuación del calor en una barra finita
    7.3. La ecuación de ondas unidimensional en un dominio acotado
    7.4. Las ecuaciones de Laplace y Poisson en rectángulos y sectores circulares
    7.5. Ecuaciones lineales de evolución (telégrafo, Klein-Gordon, etc.)
    
    
  • Tema 8. Problemas singulares de Sturm-Liouville
  • 8.1. Ecuaciones y funciones de Bessel
    8.2. Sistemas singulares de Sturm-Liouville asociados a ecuaciones de Bessel: teorema de descomposición espectral
    8.3. Aplicaciones: ecuaciones lineales de evolución sobre recintos circulares
    
    
  • Tema 9. La transformada de Laplace
  • 9.1. Definición y propiedades básicas (transformada de la derivada)
    9.2. Dominio de las funciones transformables
    9.3. Inyectividad de la transformada: el teorema de Lerch
    9.4. La transformada inversa de Laplace: fórmula de Bromwich y método de los residuos
    9.5. Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (ecuaciones de un circuito) en derivadas parciales
    
    
  • Tema 10. La transformada de Fourier
  • 10.1. Definición y propiedades básicas (transformada de la derivada)
    10.2. La transformada inversa: el teorema de Fourier
    10.3. Aplicación a la resolución de ecuaciones (ondas y calor sobre la recta real y Laplace en un semiplano) y al procesado de señales
    
    
  • Tema 11. Formulación variacional y soluciones débiles
  • 11.1. Complementos sobre espacios de Hilbert: teoremas de Riesz-Fréchet, Stampacchia y Lax-Milgram
    11.2. Distribuciones y espacios de Sobolev
    11.3. Formulación variacional de problemas elípticos
    11.4. Soluciones débiles y condiciones de regularidad

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    Transformadas Integrales y Ecuaciones en Derivadas Parciales by José Alberto Murillo Hernández, Francisco Periago Esparza is licensed under a Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 3.0 Unported License.
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