Ejercicios propuestos - Tema 3: Tensiones

Ejercicio 1

Conocido el tensor de tensiones en el entorno de un punto de un sólido elástico, se pide:

  1. Calcular las componentes globales respecto a un plano que contiene al eje $ x$ y su traza es bisectriz del plano $ yz$
  2. Calcular las componentes intrínsecas del vector tensión referido al plano definido en el apartado anterior

Datos:

$\displaystyle \boldsymbol{\sigma}= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & -4 \\ 1 & 4 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \end{array} \right)$    

siendo MPa las unidades de la tensión $ \sigma $.

Solución:

  1. Calcular las componentes globales respecto a un plano que contiene al eje $ x$ y su traza es bisectriz del plano $ yz$

    $\displaystyle \textbf{t}^\textbf{n}$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{c} t_x^n \vspace{0.1cm} \\ t_y^n \vsp... ...rt{2} \vspace{0.2cm} \\ \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right)$      

  2. Calcular las componentes intrínsecas del vector tensión referido al plano definido en el apartado anterior

    $\displaystyle \sigma$ $\displaystyle = 2,5$    MPa       
    $\displaystyle \tau$ $\displaystyle = 3,8406$    MPa      

Ejercicio 2

Conocido el tensor de tensiones en un punto de un sólido elástico, se pide calcular:

  1. Los planos de tensión normal máxima
  2. La normal unitaria del plano libre de tensiones

Datos:

$\displaystyle \boldsymbol\sigma= \left( \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right)$    

siendo las unidades de la tensión $ \sigma $ MPa.

Solución:

  1. Los planos de tensión normal máxima

    $\displaystyle \textbf{n}_\textbf{1}$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{rrr} \pm \frac{2}{\sqrt{6}} & \pm \frac{1}{\sqrt{6}} & \pm \frac{1}{\sqrt{6}} \end{array} \right)^\textbf{T}$      
    $\displaystyle \textbf{n}_\textbf{2}$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{rrr} \mp \frac{1}{\sqrt{3}} & \pm \frac{1}{\sqrt{3}} & \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right)^\textbf{T}$      
    $\displaystyle \textbf{n}_\textbf{3}$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{rrr} 0 & \pm \frac{1}{\sqrt{2}} & \mp \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right)^\textbf{T}$      

  2. La normal unitaria del plano libre de tensiones

    $\displaystyle \textbf{n}$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{rrr} \mp \frac{2}{\sqrt{6}} & \pm \frac{1}{\sqrt{6}} & \pm \frac{1}{\sqrt{6}} \end{array} \right)^\textbf{T}$      

Ejercicio 3

Conocido el tensor de tensiones en un punto de un sólido elástico, se pide

  1. Calcular las componentes del tensor de tensiones respecto a un sistema de ejes generado al girar $ 60^{\circ}$ los ejes $ x$ e $ y$ alrededor del eje $ z$, en sentido antihorario, manteniendo éste último fijo

Datos:

$\displaystyle \boldsymbol\sigma= \left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & -1 \\ -1 & -3 & 3 \\ -1 & 3 & -3 \end{array} \right)$    

siendo MPa las unidades de la tensión $ \sigma $.

Solución:

  1. Calcular las componentes del tensor de tensiones respecto a un sistema de ejes generado al girar $ 60^{\circ}$ los ejes $ x$ e $ y$ alrededor del eje $ z$, en sentido antihorario, manteniendo éste último fijo

    $\displaystyle \boldsymbol{\sigma}^\textbf{*}$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{ccc} -\displaystyle\frac{4+\sqrt{3}}{2}... ...-1+3\sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{3+\sqrt{3}}{2} & -3 \end{array} \right)$