Ejercicios propuestos - Tema 2: Deformaciones

Ejercicio 1

El campo vectorial de desplazamientos en el entorno del punto $ P$ de un medio continuo es

$\displaystyle u=4xy\cdot10^{-5},\quad v=3xy^2\cdot10^{-5},\quad w= xz\cdot10^{-5}$    

siendo las unidades en milímetros.

Se pide:

  1. Calcular el tensor de pequeñas deformaciones
  2. Calcular el tensor de rotación


Solución:

  1. Calcular el tensor de pequeñas deformaciones:

    $\displaystyle \boldsymbol{\varepsilon}$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{ccc} 4y & 2x+\frac{3}{2}y^2 & \frac{z}{2... ...2}y^2 & 6xy & 0 \\ \frac{z}{2} & 0 & x \\ \end{array} \right)\cdot 10^{-5}$      

  2. Calcular el tensor de rotación:

    $\displaystyle \boldsymbol{\omega}$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 2x-\frac{3}{2}y^2 & -\displayst... ... 0 \\ \displaystyle\frac{z}{2} & 0 & 0 \\ \end{array} \right)\cdot 10^{-5}$      

Ejercicio 2

Conociéndose el tensor de pequeñas deformaciones $ \boldsymbol{\varepsilon}$ en el entorno de un punto de un sólido elástico, se pide:

  1. Calcular las componentes intrínsecas de la deformación del vector $ \overrightarrow{r}$

Datos:

$\displaystyle \boldsymbol{\varepsilon}= \left( \begin{array}{rrr} 8 & 8 & -\... ...} \\ 8 & 12 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 0 & 1 \end{array} \right) \cdot 10^{-5}$    

siendo $ \overrightarrow{r}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k}$.

Solución:

  1. Calcular las componentes intrínsecas de la deformación del vector $ \overrightarrow{r}$

    $\displaystyle \varepsilon_r$ $\displaystyle = \frac{10}{\sqrt{2}}\cdot 10^{-5}$      
    $\displaystyle \varepsilon_t$ $\displaystyle = \displaystyle\frac{177}{\sqrt{354}}\cdot 10^{-5}$      

Ejercicio 3

Conociéndose el tensor de pequeñas deformaciones $ \boldsymbol{\varepsilon}$ en el entorno de un punto de un sólido elástico trabajando a deformación plana, se pide:

  1. Calcular las deformaciones principales
  2. Calcular las direcciones principales de deformación

Datos:

$\displaystyle \boldsymbol{\varepsilon}= \left( \begin{array}{rr} 120 & -80 \\ -80 & 100 \end{array} \right) \cdot 10^{-6}$    

Solución:

  1. Calcular las deformaciones principales:

    $\displaystyle \varepsilon_1$ $\displaystyle = \left(110+10\sqrt{65}\right)\cdot 10^{-6}$      
    $\displaystyle \varepsilon_2$ $\displaystyle = \left(110-10\sqrt{65}\right)\cdot 10^{-6}$      

  2. Calcular las direcciones principales de deformación:

    $\displaystyle \textbf{n}_\textbf{1}$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{rr} \pm 0,7497 & \mp 0,6618 \end{array} \right)^\textbf{T}$      
    $\displaystyle \textbf{n}_\textbf{2}$ $\displaystyle = \left( \begin{array}{rr} \pm 0,6618 & \mp 0,7497 \end{array} \right)^\textbf{T}$