Ecuaciones de equilibrio interno

Para su deducción se considerará el equilibrio de un elemento diferencial en el entorno de un punto interior de un sólido elástico, formado por un paralelepípedo infinitesimal cuyas caras son paralelas a los planos coordenados. Las tensiones que actúan sobre cada una de las caras se muestran en las Figuras 3.6 a) y b).

Figura 3.6: Tensiones sobre las caras del paralelepípedo elemental: a) caras vistas y b) caras ocultas
Image 06-Tensiones

Se admite que las componentes de las tensiones son funciones continuas de las coordenadas del punto en que actúan (hipótesis de medio continuo) y que sus incrementos se pueden poner en función de las derivadas primeras de las componentes respecto a dichas coordenadas (hipótesis de pequeñas deformaciones). Si en la cara $ x = c$ actúa la tensión normal $ \sigma_x$, en la cara $ x = c+dx$ actuará la tensión $ \sigma_x+\displaystyle\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}dx$. Sobre el elemento diferencial también actuarán las fuerzas de volumen $ b_x$, $ b_y$ y $ b_z$.

Para que el elemento esté en equilibrio deben ser nulos los sumatorios de las proyecciones sobre cada uno de los tres ejes de todas las fuerzas actuantes y los sumatorios de momentos de todas las fuerzas respecto a cada eje.

Considerando positivo el sentido de los ejes que se muestra en la Figura 3.7, el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje $ x$ será:

Figura 3.7: Tensiones que intervienen en el equilibrio de fuerzas en dirección del eje $ x$
Image 07-Tensiones


$\displaystyle \left[\left(\sigma_x+\displaystyle\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}dx\right)dydz-\sigma_x dydz\right]$ $\displaystyle +$    
$\displaystyle \left[\left(\tau_{yx}+\displaystyle\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}dy\right)dxdz-\tau_{yx} dxdz\right]$   $\displaystyle +$ (3.13)
$\displaystyle \left[\left(\tau_{zx}+\displaystyle\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}dz\right)dxdy-\tau_{zx} dxdy\right]$ $\displaystyle +$ $\displaystyle b_x dxdydz=0$  

Planteando el equilibrio en las otras dos direcciones, se obtienen las ecuaciones:


$\displaystyle \left[\left(\sigma_y+\displaystyle\frac{\partial \sigma_y}{\partial y}dy\right)dxdz-\sigma_y dxdz\right]$ $\displaystyle +$    
$\displaystyle \left[\left(\tau_{xy}+\displaystyle\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}dx\right)dydz-\tau_{xy} dydz\right]$   $\displaystyle +$ (3.14)
$\displaystyle \left[\left(\tau_{zy}+\displaystyle\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z}dz\right)dxdy-\tau_{zy} dxdy\right]$ $\displaystyle +$ $\displaystyle b_y dxdydz=0$  


$\displaystyle \left[\left(\sigma_z+\displaystyle\frac{\partial \sigma_z}{\partial z}dz\right)dxdy-\sigma_z dxdy\right]$ $\displaystyle +$    
$\displaystyle \left[\left(\tau_{xz}+\displaystyle\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x}dx\right)dydz-\tau_{xz} dydz\right]$   $\displaystyle +$ (3.15)
$\displaystyle \left[\left(\tau_{yz}+\displaystyle\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}dy\right)dxdz-\tau_{yz} dxdz\right]$ $\displaystyle +$ $\displaystyle b_z dxdydz = 0$  

Dividiendo las expresiones (3.13), (3.14) y (3.15) por $ dxdydz$, queda el sistema de ecuaciones:

\begin{displaymath}\begin{array}{c} \displaystyle\frac{\partial\sigma_x}{\parti... ...aystyle\frac{\partial\sigma_{z}}{\partial z}+b_z=0 \end{array}\end{displaymath} (3.16)

que son las ecuaciones de equilibrio interno en un paralelepípedo elemental, y relacionan las tensiones con las fuerzas de volumen o de masa. Las condiciones de equilibrio planteadas en (3.13), (3.14) y (3.15) son necesarias pero no suficientes. Para que el paralelepípedo esté en equilibrio estático es necesario que exista equilibrio de momentos.

Tomando momentos respecto a un eje paralelo z', paralelo al $ z$, que pase (para mayor comodidad) por el centro del paralelepípedo, las componentes que contribuyen al equilibrio de momentos respecto a este eje se muestran en la Figura 3.8.

Figura 3.8: Tensiones que intervienen en el equilibrio de momentos alrededor de un eje perpendicular al plano $ xy$ que pasa por el centro del paralelepípedo
Image 08-Tensiones

Se debe tener en cuenta que las componentes normales de la tensión se cortan o son coincidentes con el eje $ z'$, por lo que no producen momentos. Así mismo, tampoco producen momentos las componentes tangenciales de la tensión paralelas o que cortan al eje. Las tres componentes de las fuerzas de volumen, supuestamente localizadas en el centro del paralelepípedo, también cortan al eje y no producen momentos. La condición de equilibrio de momentos respecto al eje considerado es, por tanto:

\begin{displaymath}\begin{array}{c} \tau_{xy} \hspace{1mm} dydz \hspace{1mm} \d... ...ight)dxdz \hspace{1mm} \displaystyle\frac{dy}{2}=0 \end{array}\end{displaymath} (3.17)

Tomando momentos respecto a otros dos ejes, paralelos al $ x$ e $ y$ de referencia, que pasen por el centro del paralelepípedo, se obtienen las ecuaciones de equilibrio

\begin{displaymath}\begin{array}{c} \tau_{yz} \hspace{1mm} dxdz \hspace{1mm} \d... ...ight)dxdy \hspace{1mm} \displaystyle\frac{dz}{2}=0 \end{array}\end{displaymath} (3.18)

\begin{displaymath}\begin{array}{c} \tau_{xz} \hspace{1mm} dydz \hspace{1mm} \d... ...ight)dxdy \hspace{1mm} \displaystyle\frac{dz}{2}=0 \end{array}\end{displaymath} (3.19)

Dividiendo las expresiones (3.16), (3.17) y (3.18) por $ dxdydz$, se obtiene

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} \tau_{xy}=\tau_{yx} \text{ , } & \tau_{xz}=\tau_{zx} \text{ , } & \tau_{yz}=\tau_{zy} \\ \end{array}\end{displaymath} (3.20)

Estas igualdades expresan matemáticamente el Teorema de Reciprocidad de las Tensiones tangenciales: las componentes de las tensiones tangenciales en un punto correspondientes a dos planos perpendiculares, en la dirección normal a la arista de su diedro, son iguales. El sentido de dichas componentes es tal que considerando un diedro recto, ambas se dirigen hacia la arista o ambas se separan, como se muestra en la Figura 3.9.

Figura 3.9: Sentido de las tensiones tangenciales
Image 09-Tensiones

A partir de estos resultados se puede afirmar que el tensor de tensiones es simétrico, quedando de la forma

$\displaystyle \boldsymbol\sigma= \left( \begin{array}{ccc} \sigma_x & \tau_{... ...ma_y & \tau_{yz}\\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \\ \end{array} \right)$ (3.21)