Vector deformación. Componentes intrínsecas

En todo punto de un sólido donde esté definido el tensor de pequeñas deformaciones, se tiene que para cada dirección $\overrightarrow{r}$ hay asociado un vector deformación $\overrightarrow{\varepsilon^\text{r}}$ que se calcula mediante la expresión matricial

$\displaystyle \boldsymbol{\varepsilon}^$ r $\displaystyle =\boldsymbol{\varepsilon}$ r $\displaystyle = \left(\begin{array}{ccc} \varepsilon_x & \varepsilon_{xy} & \... ...ight) \left( \begin{array}{c} r_x \\ r_y \\ r_z \\ \end{array} \right)$

(2.14)

Si se utiliza el vector unitario de $\overrightarrow{r}$ , denominado $\overrightarrow{n}$ , se obtiene el vector deformación unitaria $\overrightarrow{\varepsilon^\text{n}}$

$\displaystyle \boldsymbol{\varepsilon}^$ n $\displaystyle =\boldsymbol{\varepsilon}$ n $\displaystyle = \left(\begin{array}{ccc} \varepsilon_x & \varepsilon_{xy} & \... ...ray}\right) \left( \begin{array}{c} l \\ m \\ n \\ \end{array} \right)$

(2.15)

siendo

los cosenos directores (las componentes) del vector $\overrightarrow{n}$ .

**Figura 2.8:** Componentes intrínsecas del vector deformación

La componente intrínseca normal, la deformación normal, es la proyección del vector deformación $\overrightarrow{\varepsilon^\text{r}}$ sobre $\overrightarrow{n}$ . Se obtiene mediante las expresiones

$\begin{displaymath}\begin{array}{cc} \varepsilon_{\text{r}}=\overrightarrow{\va... ...{\varepsilon} \textbf{r} & (\text{Matricialmente}) \end{array}\end{displaymath}$

(2.16)

La Figura 2.8 a) muestra gráficamente esta proyección. El vector deformación unitaria $\overrightarrow{\varepsilon^\text{n}}$ se calcula mediante la expresión

$\begin{displaymath}\begin{array}{cc} \varepsilon_{\text{n}}=\overrightarrow{\va... ...{\varepsilon} \textbf{n} & (\text{Matricialmente}) \end{array}\end{displaymath}$

(2.17)

La componente intrínseca tangencial (la deformación tangencial o transversal) $\varepsilon_$ t se define como la proyección del vector deformación sobre el plano perpendicular a $\overrightarrow{n}$ , tal como se muestra en la Figura 2.8 a). Se calcula mediante la expresión

$\begin{displaymath}\begin{array}{cc} \varepsilon_{\text{t}}=\overrightarrow{\va... ...{\varepsilon} \textbf{r} & (\text{Matricialmente}) \end{array}\end{displaymath}$

(2.18)

$\begin{displaymath}\begin{array}{cc} \varepsilon_{\text{t}}=\overrightarrow{\va... ...{\varepsilon} \textbf{n} & (\text{Matricialmente}) \end{array}\end{displaymath}$

(2.19)

siendo $\overrightarrow{t}$ el vector tangente al plano y perpendicular a $\overrightarrow{n}$ . La deformación tangencial también puede obtenerse vectorialmente, para el vector deformación, como

$\displaystyle \vert\varepsilon_t\vert=\vert\overrightarrow{\varepsilon^{\text{r}}}-\varepsilon_{\text{r}} \overrightarrow{n}\vert$

(2.20)

$\displaystyle \vert\varepsilon_t\vert=\vert\overrightarrow{\varepsilon^{\text{n}}}-\varepsilon_n \overrightarrow{n}\vert$

(2.21)

La deformación angular $\phi$ , que se representa en la Figura 2.8 b), coincide con la deformación tangencial unitaria $\varepsilon_t$ expresada en radianes.